Текстовые труды IX Сибирской конференции «Оригами в учебном процессе», г. Омск, 27-29 марта 2008 г.
ЗАНЯТИЯ ГЕОМЕТРИЕЙ В ЛЕТНЕЙ ГУМАНИТАРНО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ШКОЛЕ Круглова И.А., г. Омск За много лет работы не перестаю удивляться многообразию применения оригами - это и коррекция, и развитие творческих способностей и художественного вкуса. В геометрии это и пропедевтика, и реализация принципа наглядности, и развитие пространственного мышления. Принимая роль оригами в коррекции и развитии детей на всех социальных, психологических и возрастных уровнях как аксиому, можно смело разрабатывать и проводить курсы практически в любой ситуации. Чем я успешно занимаюсь. Вот уже несколько лет подряд ОмГУ выигрывает грант на проведение лагеря «Соотечественники». Этот лагерь организован для наших соотечественников-школьников, проживающих в странах ближнего зарубежья. В лагере дети, наряду с отдыхом и спортом, учатся (математика, физика, история, литература, русский язык). Во второй половине дня дети посещают спецкурсы по выбору (театр, танцы, головоломки и т.д.). Большой популярностью пользуется спецкурс «Оригами». Группы переполнены (по 25-30 человек), поэтому отличительной чертой курса является работа только по схемам и для групп старшего возраста и для малышни. Но все справляются, а главное - все довольны, и наши оригамские поделки, сделанные на сибирской земле, летят в самые отдалённые уголки, как воспоминание об омском лете. В лагере «Соотечественники» оригами веду как искусство складывания, но область моих интересов лежит, прежде всего, в возможностях применения оригами при обучении геометрии. В сборниках статей конференции «Оригами в учебном процессе» мною были опубликованы доклады о применении оригами в математических и гуманитарных классах, о спецкурсе для студентов ОмГУ, о работе в лагере НОУ. Сейчас хочу рассказать об опыте, проведённом в летней гуманитарно-математической школе (ЛГМШ). В ЛГМШ приезжают дети 2-10 классов. Занятия ведут преподаватели ОмГУ и ведущие педагоги города. Каждый класс делиться на два направления - математическое и гуманитарное. Отличительной чертой школы является идея гармоничного развития личности: юный математик должен разбираться в истории и литературе, а гуманитарий иметь хорошо развитую логику, поэтому, наряду с профильными предметами, ведутся и непрофильные, программа которых составлена в связи с особенностями направления. Мною проводились занятия в гуманитарной группе для школьников, закончивших 7 класс. Цель занятий - повторение курса геометрии 7 класса, но на качественно ином уровне. Каждая задача решалась на конкретной бумажной модели (мы использовали блок бумаги для заметок с клеящейся частью, чем сберегли немало времени; каждая модель задачи приклеивалась в тетрадь, а рядом записывалось решение), т.е. отрабатывались именно те умения и навыки которые и должна развивать геометрия. Я бы назвала их пониманием плоскости и пространства, геометрическим чутьём.
№ занятия	ТЕМА		Примечания
Занятие 1	Прямые, точки, отрезки		а) прямая и отрезок b) луч и угол
Занятие 2	Углы, отрезки		а) сравнение углов и отрезков b) измерение отрезков
Занятие 3	Треугольники		а) виды углов, измерение углов b) первый признак равенства треугольников
Занятие 4	Треугольники		медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Занятие 5	Треугольники		второй признак равенства треугольников
Занятие 6	Треугольники		а) третий признак равенства треугольников
			b) соотношения между сторонами и углами треугольника, сумма углов треугольника
Занятие 7	Треугольники		а) теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника, следствия b) неравенство треугольника
Занятие 8	Прямоугольные треугольники		а) свойства прямоугольных треугольников b) первый признак равенства прямоугольных треугольников с) второй признак равенства прямоугольных треугольников
Занятие 9	Деление стороны на равные части
Занятие 10	Параллельные прямые		а) первый признак параллельности прямых b) второй признак параллельности прямых с) третий признак параллельности прямых
Занятие 11	Параллельные прямые		а) аксиома параллельных прямых b) следствия из аксиомы
Занятие 12	Окружность		а) центр окружности, диаметр b) деление круга на равные части
Занятие 13	Разные задачи
Занятие 14	ЛОМОНОСОВСКИЙ ТУРНИР
На занятиях решались задачи следующих типов: 1) Задачи на построение. В привычном курсе геометрии задачи на построение решаются при помощи циркуля и линейки. Возможности перегибания листа бумаги включают в себя не только «геометрию линейки», но и «геометрию циркуля», что обеспечивает возможность решения большого разнообразия задач. Для демонстрации условия любой задачи ученики должны уметь составить алгоритм использования данных этой задачи. Это немаловажное умение приучает школьников искать пути решения задачи и на обычном абстрактном уровне. Известно, что например, для решения некоторых геометрических задач, необходимо решить вопрос о существовании объекта: «найти площадь трапеции с основаниями 2 и 7 и боковыми сторонами 3 и 4». Идея решения заключена в отыскании возможности построить данную трапецию. 4 Пример 1. На сторонах угла с вершиной О отмечены точки А и В так, что ОА = ОВ. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла и пересекающиеся в точке С. Докажите, что луч ОС - биссектриса угла О. Алгоритм: • построим на листе бумаги угол, проведя две пересекающиеся в точке О прямые; • совместив стороны угла, сделаем засечку, тем самым, отложив на сторонах угла равноудаленные от вершины точки А и В; • через данные точки проведём перпендикуляры к сторонам (накладываем луч на себя); • при пересечении перпендикуляров получаем точку С; Доказательство: согнём лист по лучу ОС, при этом стороны угла должны совместиться. < 2) Задачи на доказательство. Получив с помощью алгоритма реальное воплощение на листе бумаги условий задачи, можно выполнять действия на доказательства. Как правило, это задачи сводятся к сравнению углов, длин отрезков или к вопросу о совпадении точек (см. пример 1). Наиболее сложным является алгоритм построения сгибов для нахождения решения задачи. 4 Пример 2. Медиана АМ треугольника АВС равна половине стороны ВС. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный. Алгоритм: • построение треугольника АВС • построим равнобедренный треугольник АМВ, в котором по условию АМ=ВМ (сложить лист пополам и, согнув два слоя бумаги, наметить луч, исходящий из произвольной точки на сгибе (М), на этом луче отметить перегибанием некоторую точку (вершины А и В), развернуть лист); • проведём сгиб ВМ, наложением на этой линии отмечаем отрезок МС равный ВМ; • докажем, что угол ÐВАС=90°, то есть нужно доказать, что одна сторона угла является перпендикуляром к другой • делаем сгиб по одной стороне угла, при этом другая сторона должна наложиться на своё продолжение. < Более сложные алгоритмы, как то: деление угла на три равные части, деление окружности на три части и т.д., рассматривались уже готовыми (конечно с обсуждением строгого математического доказательства). 3) Задачи на вычисление. При помощи перегибаний мы получаем какой-то математический объект (угол, отрезок, фигуру) и необходимо вычислить его параметр. В некоторых задачах (например, о свойствах средней линии треугольника) параметр может быть вычислен оригамским способом (наложением), но для точного ответа необходимы строгие математические доказательства. Самым трудным действием для ребят было создание алгоритма построения условий задачи и, конечно, создание алгоритма решения. Основные из них (деление пополам, построение параллельных и перпендикулярных прямых, деление стороны на три части) были рассмотрены как отдельные задачи, а затем использовались в более сложных алгоритмах в качестве составных частей. Доказано, что деятельное участие в создании модели геометрической фигуры и изучение её свойств сначала на конкретной бумажной модели, а затем переход к умозрительному доказательству математическими методами, обеспечивают насыщенную мыслительную деятельность учащихся, а, следовательно, высокие показатели в обучении. Обратное, как выяснилось, не верно - высокие отметки за обучение не обеспечивают ясного понимания. Чуть ли не все мои ученики имели отличную оценку по геометрии в школе, они «с ходу выстреливали» любым определением и формулировкой любой теоремы, однако построить модель задачи на конкретном листе без карандаша, только с помощью сгибов (например, провести биссектрису) для них было затруднительно. Для меня этот факт был ошеломляющим, так как с начальной школы учащиеся определяют равные фигуры как совпадающие при наложении. К сожалению, геометрическое чутьё редко сохраняется (не говоря уже о его развитии) в старших классах. Конечно, решая геометрические задачи на доске или в тетради, невозможно проверить наложением равенство фигур и мы для этого пользуемся строгими логическими доказательствами (что весьма полезно). Однако для преодоления всё растущей пропасти между умозрительной задачей и её возможным применением в жизни, необходимо вводить новые методики, основанные на принципе наглядности. Применение осязаемой модели геометрической задачи способствует сознательному усвоению полученных знаний, созданию прочной основы навыков и умений, более полному пониманию геометрической картины мира. Уверена, что после такого повторения курса геометрии 7 класса, учащиеся совсем по-другому будут «чувствовать» пространство вокруг себя, а, следовательно, понимать суть геометрических задач. Литература: 1. Белим С.Н. Задачи по геометрии, решаемые методами оригами. М.: Аким, 1998. 2. Митрохина С.М. Дипломная работа «Оригами - как реализация дидактического принципа наглядности на уроках геометрии 7-9 классов», ОмГУ, 2001. Научный руководитель Круглова И.А. 3. Журналы «Оригами»:
ТЕМА		АВТОР			ИСТОЧНИК
Оригаметрия		Капитонова Ирина (Чебоксары)			01. январь-март 1996, стр. 36
Оригаметрия		Капитонова Ирина (Чебоксары)			02. апрель-июнь 1996, стр. 48
Оригаметрия		Капитонова Ирина (Чебоксары)			03. июль-сентябрь 1996, стр. 47
Оригаметрия		Капитонова Ирина (Чебоксары)			04. октябрь-декабрь 1996, стр. 47
Оригаметрия					05. январь-февраль 1997, стр. 47
Оригаметрия					06. март-апрель 1997, стр. 47
Оригаметрия		Капитонова Ирина (Чебоксары)			07. май-июнь 1996, стр. 47
Орискрепка		Капитонова Ирина (Чебоксары)			07. май-июнь 1996, стр. 48
Оригаметрия		Исип Алексей (Омск)			09. сентябрь-октябрь 1997, стр. 54
Снежинки					10. ноябрь-декабрь 1997, стр. 42
Оригаметрия		Капитонова Ирина (Чебоксары)			13. 1998 № 3, стр. 40
Круг		Никулин А.П. (Москва)			17. 1999 № 3, стр. 47
Деление круга на равные части		Гончар В.В. (Москва)			17. 1999 № 3, стр. 49
Правильный треугольник		Никулин А.П. (Москва)			19. 1999 № 5, стр. 26
Правильный шестиугольник					20. 1999 № 6, стр. 42
Нарцисс		Соколова Светлана (СПб.)			20. 1999 № 6, стр. 44
Два квадрата		Классическая модель			21. 2000 № 1, стр. 37
Квадрат, прямоугольник, параллелограмм		Бассаур Александр (Новосибирск)			21. 2000 № 1, стр. 37
Как пролезть через лист бумаги		Классическая модель			21. 2000 № 1, стр. 38
Зебры пойманы		Митчелл Девид (Англия)			21. 2000 № 1, стр. 39
Пять полос		Пожирова Валентина (Владивосток)			21. 2000 № 1, стр. 40
Аксиомы оригаметрии		Цывунина Полина (Архангельск)			21. 2000 № 1, стр. 42
Шестиугольный орнамент		Белим Светлана (Омск)			21. 2000 № 1, стр. 43
Панно-головоломка		Классическая модель			22. 2000 № 2, стр. 30
Правильный восьмиугольник		Никулин А.П. (М.)			23. 2000 № 3, стр. 21
Квадратные дроби		Афонькин Сергей (СПб.)			25. 2000 № 5, стр. 30
Восьмиугольная ваза		Меузен Жозе (Голландия)			25. 2000 № 5, стр. 36
Загадочный квадратик		Фефелов Алексей (Северо-Курильск)			26. 2000 № 6, стр. 29
Коробочка из круга		Водяная Любовь (Ростов-на-Дону)			26. 2000 № 6, стр. 30
Ленты и кольца тетраэдров		Ярёменко Николай (Украина)			29. 2002 № 1, стр. 25
Мозаика		Фридрих Евгений (Новокузнецк)			30/31.2002 № 2/3,стр.42
⇨: Формирование предпонятий правильных и полуправильных многогранников		⇦: Дистанционно обучающая олимпиада «Оригами и геометрия»		⇧ (Огл. материалов Конф.)